Математика

 
Описание извлечения квадратного и кубического корней в «Цзю чжан суань шу» является наиболее ранним в истории математики. Вавилоняне для извлечения стандартных квадратных корней пользовались таблицами, обратными по отношению к таблицам квадратов. Сохранилось еще несколько примеров нахождения вавилонянами приближенных значений квадратных корней. В Европе извлечение квадратного корня, основанное на разложении квадрата суммы, впервые встречается в написанных во второй половине IV в. Теоном Александрийским комментариях к астрономическому сочинению Птолемея «Великое построение» («Мэгале синтаксис»), позже названному «Альмагестом». Правила извлечения квадратного и кубического корней привел индийский математик Арьябхата (род. ок. 475) в своем сочинении «Арьябхатия», написанном в 499 г. В средневековой Европе правила извлечения квадратного корня появились в XII в., а кубического – в XIII в.
 
Вычислительная процедура извлечения квадратного и кубического корней, использовавшаяся китайцами по меньшей мере во II в. до н.э., схожа в определенных аспектах со «схемой Горнера», разработанной английским математиком Уильямом Горнером (1786–1837) в 1819 г. Помимо формальных различий в способе записи промежуточных результатов китайское правило отличается по существу от этой схемы, в частности, тем, что в нем латентно используется формула разложения бинома. «Схема Горнера» – это метод оценки корня многократной аппроксимацией, каждый раз более точной, чем на предшествующем шаге. Горнер осуществлял аппроксимацию, увеличивая десятичные дроби. Ранее, в 1767 г., французский математик Жозеф Лагранж (1736–1813) сделал это непрерывными (цепными) дробями. Таким образом, «Лагранжев метод» использования дробей был развит в Китае во II в. до н.э. (за 20 столетий до Лагранжа) и был улучшен в III в. н.э. Лю Хуем (за 15 столетий прежде Горнера).
 
В своих комментариях к трактату «Цзю чжан суань шу» Лю Хуй дал геометрическое обоснование метода извлечения корней в терминах десятичных дробей. Возможно, этот метод имеет геометрическое происхождение, ведь в правилах извлечения квадратного и кубического корня подкоренное число называется цзи [7] – «площадь» и «объем». У Лю Хуя процедура извлечения корней описана как разновидность метода исчерпания, который он применял при вычислении площади круга и сегмента, а также объема пирамиды. При этом он ссылался на чертежи, которые не сохранились. Возможно, чертеж, иллюстрирующий геометрическую процедуру извлечения квадратного корня, был таким же, как в книге Ян Хуя «Сян цзе Цзю чжан суань фа» («Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах”»), написанной в 1261 г.
 
Этот чертеж показывает ряд квадратов (K, L, M), которые располагаются по диагонали внутри большого квадрата ABCD, соответствующего подкоренному числу (рис. 10). Эти квадраты соответствуют числам в разрядах корня, находимым путем подбора при извлечении корня с помощью счетной доски. При построении второго квадрата (L) возникают два прямоугольника, прилегающих к сторонам первого квадрата (K). Процедура будет продолжаться до полного исчерпания площади большого квадрата в том случае, если он соответствует квадратному числу. В противном случае можно говорить о разного рода приближениях.
 
Алгебра
 
Общая специфика. Когда историками науки указывается, что во II тыс. до н.э. вавилоняне уже были знакомы с алгеброй, под этим подразумевается, что они умели решать задачи, которые теперь решаются алгебраическими методами. При этом надо учитывать, что алгебра вавилонян во многих отношениях значительно отличалась от современной. Было прослежено влияние вавилонской алгебры на греческую математику. Вопрос, могли ли основы китайской алгебры возникнуть за счет вавилонского влияния, остается, в принципе, открытым, но пока не появилось достаточно серьезных доводов в пользу его положительного решения.
 
Алгебра доминировала в китайской математике, насколько прослеживается ее история, начиная со II в. до н.э. Она неизменно сохраняла свою специфическую форму, аналогов которой невозможно обнаружить ни в какой другой традиционной математике. Она была «вербальной», т.к. полностью записывалась в словах, и позиционной, поскольку позиции в ней заменяли символику. Ее можно считать вполне полноценной алгеброй, главной характеристикой которой является наличие понятия неизвестной. Оперирование с последней как с известной величиной приводит к составлению и решению уравнений. При этом не важно, используется ли символическая или словесная форма записи уравнений. Но у китайцев не было уравнений. Их заменяли алгоритмические правила и счетная доска как особая матрица, которая задавала некое «символическое пространство», некую «символическую структуру», наделяющую определенными значениями отдельные члены такого матричного «уравнения».
 
Счетная доска давала возможность формализовать процедуру и была эффективной заменой символики. Она использовалась таким способом, что некоторые позиции были заняты определенными видами величин (неизвестные, степени и т.д.). С ее помощью была установлена фиксированная система регистрации математических примеров. Но так как решаемые китайцами задачи всегда сохраняли связь с конкретными проблемами, у них не было общей теории подобных матричных «уравнений». Была только склонность мыслить в типовых примерах, развитая при работе со счетной доской и тем самым ведущая к некоторым обобщениям. К сожалению, хотя сам принцип подобных матричных решений уравнений был хорош, он со временем привел к ситуации, при которой дальнейший прогресс был уже не возможен.
 
Символы как таковые стали использоваться в китайской алгебре поздно и происходило это редко. Например, в XIII в. для обозначения элементов уравнений применялись иногда циклические знаки. С другой стороны, в китайской алгебре использовались абстрактные технические иероглифы для структуры матрицы (например, столбцы – хан [1], строки – вэй [6]) и для указания обобщенных количеств и математических действий. Если эти иерогли-фы и не были символами в математическом смысле, то значили все же больше, чем просто слова.
 
Что касается алгебраической символики, то она является достаточно поздним изобретением во всем мире. Ее не имела алгебра вавилонян, которая была достаточно развитой и включала уравнения третьей и четвертой степени. Греки во времена Евклида решали множество сравнительно трудных задач геометрически, также не прибегая к алгебраической символике. Только пять с половиной столетий позже, благодаря Диофанту, западная алгебра приобрела некоторую элементарную разновидность символического обозначения.
 
В начале Средневековья, по причине общей деградации западной науки, греческая алгебра была забыта. Возникшая затем в арабо-мусульманском мире алгебра своим происхождением была обязана прежде всего соответствующему влиянию Индии и, возможно, Китая. Сам термин «алгебра» произошел из заголовка книги «Китаб мухтасар аль-джебр в-аль-мукабала» («Краткая книга восполнения и противопоставления»), написанной Абу Абдаллой Мухаммедом бен Мусой аль Маджуси аль-Хорезми (787–850). Два последних слова в ее заголовке являются математическими терминами. Аль-джебр («восполнение») обозначает перемещение с переменой знака отрицательного элемента уравнения в другую часть уравнения, а аль-мукабала («противопоставление») – сокращение положительных элементов, которое производится с целью упростить обе стороны уравнения. В китайской математике не имелось терминов, точно обозначающих эти процедуры, однако процедуры «сложения элементов с различными знаками» и «вычитания элементов с тем же самым знаком», упомянутые в «Цзю чжан суань шу», им вполне соответствуют. Развитие алгебраической символики началось в Европе только в XIII в. с трактата по арифметике и алгебре генерала доминиканского ордена Иордана Неморария (Iordanus Nemorarius), а современного уровня она достигла только у Франсуа Виета (1580 г.). Вслед за этим в конце династии Мин, после знакомства с западной математикой через католических миссионеров, она стала использоваться и в Китае.

Системы линейных уравнений. Характер действий на счетной доске определил появление в древнем Китае специфического алгоритма вычислений системы линейных уравнений, при котором коэффициенты уравнения располагаются на доске в виде табли-цы, позволяющей во всех случаях обращаться с ними одинаковым образом.
 
В книге «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») ряд задач, собранных в разделе VIII, сводится к системам линейных уравнений. Решаются они по правилу, давшему название данному разделу, – фан чэн (букв. «квадратное (табличное) упорядочивание»), которое напоминает правило Гаусса. Например, первая задача, касающаяся объема зерна (в доу), полученного из снопов трех разных урожаев и имеющего, соответственно, раз-ное качество, сводится к решению следующей системы уравнений, которая записывается в виде матрицы коэффициентов (рис. 11).
 
Урожаи в задаче определяются как верхний (хороший), средний, нижний (плохой) – шан [2], чжун [1], ся [2], что соответствует трем верхним строкам матрицы и можно обозначить символами x, y, z. Нижняя строка будет занята неизменными членами. Коэффициенты первого уравнения помещены в правую (ю [9]) колонку, а коэффициенты второго и третьего уравнений – в среднюю (чжун [1]) и левую (цзо).
 
Решение производится сокращением коэффициентов в колонках (рис. 12). Для начала коэффициенты средней колонки умножаются на 3 – коэффициент в первой позиции в правой колонке, а затем из средней колонки дважды (в общем случае такое количество раз, какое необходимо) вычитается правая колонка, чтобы получить 0 в ее первой позиции.
 
Подобными процедурами с первой колонкой добиваются получения двух нулей в ее первой и второй позициях (рис. 13). Это дает возможность найти значение z. Подставляя это значение в среднюю колонку, получают y. Остается получить x, подставляя z и y в правую колонку. Ответы: x = 9¹/₄ доу; y = 4¹/₄ доу; z = 2³/₄ доу.
 
В «Цзю чжан суань шу» есть также задачи на определенные системы линейных уравнений с двумя, четырьмя и пятью неизвестными. Начиная с эпохи Хань правила решения этих уравнений долго не были отделены от конкретных практических проблем, и только Ян Хуй в XIII в. выразил их обобщенным способом. Правило фан чэн напоминает по идее метод определителей, который был предложен в 1693 г. Г. Лейбницем для решения систем линейных уравнений и был развит в 1750 г. швейцарским математиком Габриелем Крамером (1704–1752). Однако, в отличие от определителей, матрицы фан чэн, структура которых в значительной степени задается системой уравнений, имеют неравноправные столбцы и строки, включают свободные члены и проч. Видоизменив соответствующим образом правило фан чэн, японский математик Секи Кова (1642–1708) смог преобразовать его в метод определителей, который был им описан в книге «Кай фукудай но хо» («Решение задач методом определителей»), изданной в 1683 г.
 
Отрицательные числа. При применении правила фан чэн для решения систем линейных уравнений могут получиться отрицательные коэффициенты. Такие случаи учитываются в «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах»), что является первым применением отрицательных чисел в истории математики. Отрицательные числа присутствуют в этой книге не только в условиях некоторых задач как обозначения того или иного «убытка», но и как результат вычитания коэффициентов одного уравнения из коэффициентов другого в том случае если последние равны нулю (просто отсутствуют) или меньше вычитаемого. Таким образом, использование отрицательных чисел формально. Они не рассматриваются как нечто реально существующее. Отрицательные числа называются фу [15] (букв. «долг, груз, поражение, нарушение, неправильное»), что семантически указывает на их оппозицию положительным числам, имеющим название чжэн [1] («правильное», «истинное»).
 
В «Цзю чжан суань шу» отрицательное число появляется впервые в решении задачи № 3 из раздела VIII. Вслед за ней дается правило суммирования и вычитания положительных и отрицательных чисел, называемое «правилом положительного и отрицательного» (чжэн фу шу). Оно аналогично современному. В этой же задаче отрицательное число умножается на положительное. При этом произведение берется, как и положено, отрицательным, но правила на этот случай нет. Других операций с отрицательными числами в «Цзю чжан суань шу» производить не требовалось. Закон умножения знаков (минус, умноженный на минус, равен плюсу и т.д.) был известен алгебраистам Сун и заявлен, например, в книге Чжу Ши-цзе «Суань сюэ ци мэн» («Введение в учение о счете»), написанной в 1299 г.
 
Вероятно, уже во II в. до н.э. на счетной доске положительные коэффициенты уравнения были представлены белыми счетными палочками, а отрицательные – черными. Для этого также использовались счетные палочки соответственно треугольного и квадратного сечения. Чтобы на счетной доске отличить отрицательное число от положительного числа в случае, когда нет палочек двух видов, оно могло отмечаться, как делал математик Лю Хуй в III в. н.э., наклонной позицией. В книгах эпохи Сун положительные и отрицательные числа изображались красным и черным цветами, а Ли Е обозначал отрицательные числа перечеркиванием первого разряда в цифре.
 
В античной Европе отрицательные числа появились впервые в книге «Арифметика» (ок. 275 г. н.э.) греческого математика Диофанта, который, хотя и дал правила умножения положительных и отрицательных чисел, отвергал их как «абсурдные», когда они входят в решения уравнений. В Индии их использовал математик Брахмагупта (ок. 598–660) в сочинении «Усовершенствованное учение Брахмы», написанном в 628 г. Среди арабо-мусульманских ученых первым на них обратил внимание Абу-аль-Вафа/Вефа (940–998), занимавшийся переводом Диофанта. Отрицательными числами занимался в XIII в. итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180–1240). Но настоящее принятие отрицательных чисел в Европе произошло в середине XVI в., когда великий гений Ренессанса, Джероламо Кардано (1501–1576) издал в 1545 г. свою книгу по алгебре, названную «Великое искусство». В ней Кардано не только признал отрицательные числа (названные им debitum – «дебет»), которые он получал в решениях различных уравнений, но и изложил правила обращения с ними.