Математика

 
Первое письменное свидетельство использования метрологических дробей обнаруживается в комментарии Лю Хуя к «Цзю чжан суань шу», в частности, при обсуждении правил для решения задач № 31 и 32 из первого раздела и № 12–16 из четвертого. В первом случае Лю Хуй указывает, что извлечение квадратного корня может быть произведено точнее, если «спускаясь вниз в делителе, искать мельчайшие числа (вэй шу)», иначе говоря, надо не останавливаться на целом числе, для которого можно дать приблизительный остаток, а извлекать корень дальше, получая десятичные дроби. С помощью метрических единиц Лю Хуй выделяет пять их разрядов, идущих после цуня [2], взятого как целое число: фэнь [1], ли [14], хао [1], мяо [1], ху [5] (букв. «доли», «[зернышки] лебеды», пер. А.И. Кобзева), «шерстинки», «тончайшие», «крошечные»). Однако он осознает, что и этих разрядов не хватит. Поэтому для вэй шу, которые «не имеют названия», можно использовать простые дроби, полученные как приближения при завершающем шаге извлечения корня. Так, например, квадратный корень из 75 (= 8,660254037...) он записывает как 8 цуней [2] 6 фэней [1] 6 ли [14] 2 мяо[1] 5²/₅ ху [5].
 
Во времена Лю Хуя десятичные метрологические дроби еще не получили широкого распространения, поскольку, вероятно, китайцы были так искусны в использовании обычных дробей, что многие из них просто не чувствовали потребность в применении десятичных. Однако позднее они все чаще начинают появляться в литературе.
 
Метрологические дроби являются прообразом настоящих десятичных дробей. Переход к ним был намечен у Сунь-цзы [2]: в задаче № 2 из последнего раздела своей книги он использует в качестве десятых дроби иероглиф фэнь [1] («доля») для выражения неметрического ответа: 37 человек 5 фэней [1], т.е. 37,5 человека. У Сунь-цзы [2] уже нет смешанных выражений как у Лю Хуя. Десятичные метрологические дроби он предпочитает простым. Ими он выражает результаты вычислений, если только искомая величина не является бесконечной периодической дробью. Иногда этими дробями у него выражаются и исходные данные.
 
В трактате Сунь-цзы [2] впервые в Китае представлены метрологические таблицы. При их анализе можно увидеть, что в его время соотношения между единицами мер были не всегда строго десятичны. Причина в том, что меры длины, веса и объема возникали независимо друг от друга в различных областях человеческой деятельности. Можно заметить, что среди мер длины и веса десятичными являются мелкие величины, которые заведомо не могли быть использованы при измерениях, и это указывает на то, что они, возможно, были предназначены для использования в качестве разрядов десятичных дробей. Однако, хотя таблица длин доходит у Сунь-цзы [2], также как и у Лю Хуйя, до ху [5] (при этом термин мяо [1] заменен на сы [8] – «шелковинка»), при решении задач он ограничивается только фэнями [1].
 
Сунь-цзы [2] прекрасно понимал, что десятичные дроби облегчают процедуры умножения и деления на степени 10. В последнем разделе его книги часто встречается выражение – шан ши чжи – «поднять в десять раз», что означает умножение на степень 10. Для обозначения деления на степень он использовал термин туй («отступать»).
 
В «У цао суань цзин» («Счетный канон пяти ведомств»), как и у Сунь-цзы [2], десятичным разрядам любого числа, включая неметрологические, присваиваются названия для десятых долей мер длины – фэни [1]. Но в отдельных случаях, в отличие от Сунь-цзы [2], применяются уже не только десятые, но и сотые (ли [14]) и тысячные (хао [1]) доли цуня [2]. Для переходов из разряда в разряд в этой книге используются термины цзинь вэй и туй вэй – «выдвигаться» и «отступать по разрядам».
 
Применение метрологических дробей давало возможность передвижения по шкале единиц с целью выбора более удобного обозначения для целых и дробных разрядов. Можно, сказать, что при этом использовался принцип «плавающей запятой». Так, меньшим целым числом мог быть выбран разряд чжанов [4], а не цуней [2], как это было у многих авторов после Лю Хуя. Пример этому можно найти в «Суй шу» («Книга о [династии] Суй»), изданной в 635 г., где «верхнее» значение числа «пи», вычисленное Цзу Чун-чжи и равное в современном обозначении 3,1415927, записывается в иероглифах как 3 чжана [4] 1 чи [1] 4 цуня [2] 1 фэнь [1] 5 ли [14] 9 хао [1] 2 мяо [1] 7 ху [5].
 
Танский ученый Хань Янь, творивший между 780 и 804 гг., осуществил нововведение, записывая числа как в современном десятичном обозначении, но используя метрический термин для последнего целого числа. Однако полноценное систематическое применение, хотя и в метрологическом виде, десятичных дробей во всех арифметических действиях встречается только в трудах математиков XIII в., прежде всего, Ян Хуя и Цинь Цзю-шао. Так, Ян Хуй при умножении двух чисел сначала переходит от обычных дробей к десятичным и только потом производит действие. Современный термин сяо-шу для обозначения десятичных дробей ввел Чжу Ши-цзе. Он продолжил единицы длины до 10^-16 чи [1], а при императоре Кан-си этот ряд был доведен до 10^-31 чи [1]. Что касается понятия десятичной дроби в абстрактной форме, то оно стало развиваться в Китае только под влиянием новоевропейской математики.
 
Первое свидетельство использования десятичных дробей в Европе найдено в испанской рукописи 976 г., т.е. приблизительно на семь сотен лет позже, чем о них говорил Лю Хуй. Первый специальный трактат, посвященный десятичным дробям и называющийся «De Thiende» («Десятина»), был написан Симоном Стевиным (1548–1620) в 1585 г. Окончательно десятичные дроби вошли в европейскую математику только в XVII в.
 
«Тройное правило». О том, каким образом древние китайцы применяли «тройное правило», можно получить достаточно ясное представление, рассмотрев задачи, собранные во втором разделе «Цзю чжан суань шу» под названием «Су ми» («Просо и рис») и касающиеся принципов равнозначного обмена. В начале раздела дается таблица условно выбранных коэффициентов (люй [5]) для различных видов продуктов (зерновых, бобовых и др.). В качестве эталонного взят коэффициент для проса, равный 50. Самый маленький коэффициент у «пшена для князей» (21), а самый большой – у хмеля (175).
 
Согласно приводимому алгоритму, чтобы достигнуть равнозначности в обмене одного продукта на другой, надо количество имеющегося продукта умножить на коэффициент искомого, а затем результат разделить на коэффициент имеющегося продукта. По сути дела, речь идет о формуле х = ak_x/k_a, получающейся из пропорции x/a = k_x/k_a, где х – искомое, a – имеющееся, k_x и k_a – коэффициенты искомого и имеющегося. Схожим образом это «тройное правило» формулируется в последнем разделе сочинения Чжан Цю-цзяня «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») (задачи № 17 и 18). Хотя в нем идет речь не о коэффициентах, а об объемах, в комментариях к этому месту Ли Чунь-фэн применил следующую терминологию для членов пропорции: а – со ю шу («число имеющегося»), k_x – со цю люй («коэффициент искомого») и k_a – со ю люй («коэффициент имеющегося»).
 
Вычисление степеней и корней. В традиционной китайской математике возведение в степень некоего числа мыслилось обычным способом, а именно как n-ое произведение сомножителей, равных данному числу. Среди степеней больше всего внимания обращалось на вторую и третью, поскольку с ними связано вычисление площадей и объемов. Квадрат числа имел различные названия. Он назывался фан [1] («квадрат») в эпоху Хань, чэн фан («возведенное в квадрат») в Сун, а в настоящее время используется термин цзы чэн («[число], умноженное на себя»). Другой современный термин – пин фан («плоский квадрат») соотносится с древним названием куба – ли фан («стоячий квадрат»).
 
Нахождение корня мыслилось в китайской математике как процесс, об-ратный возведению в степень, а с геометрической позиции предполагалось, что квадратный или кубический корни числа – это сторона соответственно квадрата или куба, площадь или объем которых равны этому числу. Термины, обозначающие извлечение квадратного и кубического корней, – кай фан и кай ли фан, что буквально означает «раскрытие квадрата» и «раскрытие стоячего квадрата».
 
Правила извлечения квадратного и кубического корней впервые приведены в «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») в четвертом разделе, имеющем название «Шао гуан» («Сужение и расширение»), вслед за задачами № 12–16 и 19–22. С формальной стороны процедура извлечения корня, записанная в данных правилах и выполняемая на счетной доске, подобна процедуре деления. Поэтому подкоренное число называется «делимым» (ши [2]). Относительно его местоположения на счетной доске располагаются все остальные числа. Строка над ним, куда при делении помещается частное, предназначена для искомого корня. На строке, находящейся ниже подкоренного числа, помещаются «текущие делители» (дин фа), возникающие в ходе вычислений. Еще ниже помещается специальная счетная палочка (цзе суань), которая предназначена для определения числа разрядов корня. Сначала она находится под первым разрядом «делимого», а затем ее пошагово передвигают влево – через один столбец при извлечении квадратного корня и через два – кубического. В конце передвижения она обозначит единицы числа, при делении которого на первый текущий делитель будет получено число корня в его высшем разряде. Процедура извлечения корня представляет собой попеременный подбор очередного числа корня и преобразование чисел на счетной доске к виду, пригодному для подбора следующего.
 
Кай фан
Ши
Дин фа
Цзе суань
 
Для примера рассмотрим задачу № 12, в которой требуется извлечь квадратный корень из числа 55225. Для начала данное число устанавливается на счетной доске (рис. 9). Передвигаем счетную палочку через один столбец и останавливаем ее под 10000-ым разрядом, где находится 5. Путем пробы подбирается первое число корня – первый «результат» (со дэ – букв. «то, что получено»). Произведение выбранного числа на данный разряд будет считаться первым текущим делителем. Умножение его на это же выбранное число должно быть наибольшим целым среди чисел, не превышающих подкоренного числа. В данном случае выбранное число – это 2, т.к. (2 х 10000) х 2 = 40000 < 55225. Цифра 3 не подходит, т.к. (3 х 10000) х 3 = 90000 > 55225.
 
Таким образом, на счетной доске устанавливается первая цифра корня. Затем вводится первый текущий удвоенный делитель: 20000 х 2 = 40000. На место делимого ставится 1-й остаток – разность между прежним делимым и удвоенным текущим делителем: 55225 – 40000 = 15225. Затем этот делитель уменьшают на разряд и получают «укороченный» текущий делитель: 40000/10 = 4000.
 
После этого передвигают счетную палочку через столбец вправо, тем самым обозначая разряд сотен. Определяют второе число корня и умножают его на данный разряд. Сумма этого произведения и укороченного текущего делителя, умноженного на это же выбранное число, не должна превышать первого остатка. Таким числом будет 3, т.к. (3 х 100 + 4000) х 3 = 12900 < 15225. Если возьмем 4, то (4 х 100 + 4000) х 4 = 17600 > 15225. Итак, новый текущий делитель: 4000 + 300 = 4300. Второй остаток: 15225 – 4300 х 3 = 15225 – 12900 = 2335. «Дополненный» текущий делитель (цзун дин фа): 4300 + 300. Новый «укороченный» текущий делитель: (4300 + 300)/10 = 460.
 
Еще раз передвигают счетную палочку через столбец вправо, тем самым обозначая разряд единиц. Выбирают третье число корня, которым будет 5, поскольку (5 х 1 + 460) х 5 = 2335. Таким образом, квадратный корень из 55225 равен 235. В случае большего подкоренного числа следует поступать аналогичным образом.
 
Все задачи «Цзю чжан суань шу» на извлечение корней подобраны так, что квадратные и кубические корни извлекаются соответственно из квадратных и кубических чисел. В правиле извлечения квадратного корня говорится, что если «извлечение корня не выполняется полностью, то следует продолжать как ранее». В правиле извлечения кубического корня имеется только начальная часть данной фразы, что, очевидно, является результатом порчи текста. Следовательно, можно предположить, что китайцы знали, как извлекать квадратные и кубические корни из соответственно неквадратных и некубических чисел. Возможно, при этом они использовали десятичные дроби, как это предлагал делать при комментировании данных правил Лю Хуй.
 
Среди задач «Цзю чжан суань шу» на извлечение корней есть задачи с дробными числами. В правилах оговаривается, что если нельзя извлечь корень из знаменателя, то, имея дробь a/b, при извлечении квадратного корня следует совершить преобразование √(a/b) в √(ab)/b, а при извлечении кубиче-ского корня – ³√(a/b) в ³√(ab²)/b.