Математика

Градуированные счетные палочки. Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес. Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора, по сути дела, целого устройства, можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой. Лучшая известная китайская книга на эту тему – «Цэ суань» («Вычисление счетными палочками»), написанная в 1744 г. известным ученым и математиком Дай Чжэнем. Эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка. 
 
Вычисления
 
Четыре арифметических действия. Вероятно, уже со времени Сражающихся царств все фундаментальные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) выполнялись с помощью счетных палочек на счетной доске и с использованием системы поместного значения, в которой пробелы были оставлены там, где мы помещаем нули. Хотя иероглифы в китайском письме традиционно писались сверху вниз, цифры на счетной доске всегда размещались по горизонтали слева направо. Сложение целых чисел и дробей обозначалось разными иероглифами – бин [3] и хэ [3]. Вычитание обозначалось иероглифом цзянь [16]. Умножение считалось упрощенным сложением множества слагаемых. Данную операцию обозначал иероглиф чэн [4]. Его исходное значение – «упряжка», «колесница», «ехать на колеснице». Отсюда множители могли мыслиться как упряжка лошадей, управляемая возничим. Деление (чу, исходное значение «удалять») рассматривалось китайцами как упрощенное вычитание или как перевернутое умножение. Делитель назывался фа [1] (букв. «норма») а делимое – ши [2] (букв. «полнота»). Таблицы деления (использующие слова) были обычны начиная с эпохи Сун.
 
Действия по китайскому методу вычислений на счетной доске начинаются с высших разрядов, а затем поэтапно переходят на более низшие. Такой порядок предполагал корректирование промежуточных результатов, что было легко, поскольку достигалось перекладыванием счетных палочек. После каждого этапа предыдущий промежуточный результат заменялся на новый вплоть до получения окончательного результата. Это делало невозможным непосредственную проверку всей последовательности действий.
 
Ввиду простоты сложения и вычитания в математических текстах не приводятся правила их выполнения. Первое описание правил умножения и деления дано в книге Сунь-цзы [2] «Сунь-цзы суань цзин». Осуществление этих действий проводилось в трех позициях (вэй [6]) на счетной доске – в верхней (шан [2]), средней (чжун [1]) и нижней (ся [2]). При умножении множимое помещалось в верхней позиции, множитель – в нижней и их произведение – в средней. При делении делимое располагалось посередине, делитель – внизу, а их частное – вверху.

Позиция      Умножение       Деление
Верхняя      Множимое        Частное
Средняя     Произведение   Делимое
Нижняя      Множитель       Делитель
 
Изложение правила умножения Сунь-цзы [2] начинает с указания на необходимость установить множимое и множитель таким образом, чтобы между их разрядами было прямое соответствие, чтобы они «друг на друга взирали» (сян гуань). Правда, вслед за этим, судя по приводимому Сунь-цзы [2] примеру умножения 81 на 81, множитель передвигается вправо так, чтобы его низший разряд находился под высшим разрядом множимого (рис. 6). Затем надо осуществить ряд операций, которые лучше рассмотреть на примере Сунь-цзы [2]. Первая их серия следующая: число в высшем разряде множителя (8) умножается на число из аналогичного разряда множимого (8); произведение (64 сотни) записывается в средней позиции; число в низшем разряде множителя (1) умножается на число из высшего разряда множимого (8); получившееся произведение (8 десятков) складывается с предыдущим произведением (648 десятков). Вторая серия операций начинается с перемещения (туй, букв. «отступать») множителя на одну клеточку вправо и удаления у множимого использованного высшего разряда. Затем число из высшего разряда множителя (8) умножается на число, оставшееся от множимого (1); получается 8 десятков, которые складываются с предыдущим результатом (80 + 6480 = 6560). Наконец на остаток множимого (1) умножается число из низшего разряда множителя (1); получается единица, которая складывается с предыдущим результатом, что дает число 6561.
 
Поскольку деление обратно умножению, Сунь-цзы [2] не видит надобности в описании правила выполнения этого действия, а ограничивается примерами. Для начала приводится пример правильного соотнесения разрядов конкретных делителя и делимого – 6 и 100. Перед началом операций надо «выдвинуть» (цзинь [5]) делитель под самый высокий разряд и посмотреть, возможно ли деление. В разряде сотен стоит число, меньшее делителя. Значит, деление не возможно, и нужно отступить на одну клеточку вправо. Деление 10 на 6 возможно.
 
Еще дается пример деления 6561 на 9 (рис. 7). Первая позиция делителя будет соответствовать сотням делимого. Делится 65 сотен на 9. Помимо остатка получатся 7 сотен, которые помещаются в верхнюю позицию. Из делимого вычитается 63 сотни (= 9 х 7 сотен). В средней позиции получается 261. Делитель перемещается в ячейку справа. Если разделить 26 десятков на 9, то помимо остатка получится 2 десятка, которые записываются в позиции частного, суммируясь тем самым с 7 сотнями. Из числа 261 вычитается 18 сотен (= 9 х 2 десятка). Получается число 81, которое записывается в средней позиции. После этого делитель передвигается еще на одну ячейку вправо. Совершается деление остатка делимого на делитель. Получается число 9, которое суммируется с числом в верхней позиции, что дает результат 729. 
 
При рассмотрении операции деления Сунь-цзы [2] вводит важное дополнительное правило, касающееся деления с остатком. В этом случае последняя комбинация палочек на счетной доске должна рассматриваться как «запись» частного, состоящего из целого числа и дроби: делитель берется в качестве знаменателя, а остаток делимого – в качестве числителя. Например, при делении 100 на 6 получится 16⁴/₆ (рис. 8).
 
Использование простых дробей. Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань – «половина»: бань – ¹/₂; шао бань («малая половина») – ¹/₃; тай бань («большая половина») – ²/₃. Следующим этапом было развитие общего представления о дробях и формирование правил оперирования с ними. Если в древнем Египте применялись только аликвотные дроби типа ¹/_n, то в Китае они, считаясь долями-фэнь [1], мыслились как одна из разновидностей дробей, а не единственно возможные. Китайская математика с древних времен имела дело со смешанными числами. Самый ранний из математических текстов, «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«(Математический) трактат о гномоне», частичн. рус. пер.: Яо Фан, 2003), содержит вычисления, при которых возводятся в степень такие числа, как, например, 247⁹³³/₁₄₆₀.
 
В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь рассматривается как часть целого, которая выражается в n-ном числе его долей-фэнь [1] – m (n < m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Напри-мер, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь ²/₅.
 
В первом разделе «Цзю чжан суань шу», посвященном в целом измерению полей, отдельно приводятся правила сокращения, сложения, вычитания, деления и умножения дробей, а также их сравнения и «уравнивания» (пин [1]), т.е. такого сравнения трех дробей, при котором необходимо найти их среднее арифметическое (более простое правило вычисления среднего арифметического двух чисел в книге не приводится).
 
Например, для получения суммы дробей в указанном сочинении предлагается следующая инструкция (I, 9): «Поочередно перемножьте (ху чэн) числители на знаменатели. Сложите – это делимое (ши [2]). Перемножьте знаменатели – это делитель (фа [1]). Делимое соедините с делителем в одно (и [2]). Если имеется остаток, то свяжите его с делителем». Эта инструкция означает, что если складывается несколько дробей, то числитель каждой дроби надо умножить на знаменатели всех остальных дробей. При «соединении» делимого (как суммы результатов такого умножения) с делителем (произведение всех знаменателей) получается дробь, которую следует при необходимости сократить и из которой путем деления следует выделить целую часть, тогда «остаток» – это числитель, а сокращенный делитель – это знаменатель. Сумма набора дробей есть результат такого деления, состоящий из целого числа плюс дробь. Директива «перемножьте знаменатели» означает, по сути, приведение дробей к наибольшему общему знаменателю. В разделе IV процедура сложения дробей несколько иная. Там взамен указанному находится наименьшее общее кратное знаменателей.
 
Правило сокращения дробей в «Цзю чжан суань шу» (I, 6) содержит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя числителя и знаменателя, который совпадает с так называемым алгоритмом Евклида, предназначенным для определения общего наибольшего делителя двух чисел. Но если последний, как известно, дан в «Началах» в геометрической формулировке, то китайский алгоритм представлен чисто арифметически. У Евклида производится последовательное вычитание отрезка B из отрезка A до тех пор, пока не получится отрезок С₁, меньший отрезка В. Затем также вычитается С₁ из В, пока не получится отрезок С₂, меньший отрезка С₁. Подобная процедура будет продолжаться до тех пор, пока не найдется такой отрезок С_n, который укладывается в отрезке C_n-1 целое число раз. Он то и будет общим наибольшим делителем отрезков A и B. Китайский алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, называемого дэн шу (букв. «одинаковое число»), строится как последовательное вычитание не отрезков, а меньшего числа из большего. На это число дэн шу и надо сократить дробь. Например, в задаче № 6 предлагается сократить дробь ⁴⁹/₉₁. Проводим последовательное вычитание: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дэн шу = 7. Сокращаем дробь на это число. Получаем: ⁷/₁₃.
 
Деление дробей в «Цзю чжан суань шу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзин фэнь» («порядок деления»), следующем за задачей № 18 из первого раздела, указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Только в V в. Чжан Цю-цзянь в своем сочинении «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b : c/d = ad/cb. Возможно, долгая приверженность китайских математиков к усложненному алгоритму деления дробей была обусловлена стремлением сохранить его универсальность и использованием счетной доски. По сути дела, он заключается в сведении деления дробей к делению целых чисел. Этот алгоритм остается справедлив, если делится целое число на смешанное. В делении, например, 2922 на 182⁵/₈, оба числа сначала умножались на 8, что позволяло далее делить целые числа – 23376 : 1461 = 16.
 
Десятичные дроби. Появление в Китае десятичных дробей обусловлено прежде всего существованием там десятеричной системы счисления, а также использованием счетной доски, в структуре которой также заложена десятичность, и системы мер и весов, которая с ранних времен строилась по десятичному принципу. В измерительной практике древних народов те или иные меры возникали независимо друг от друга. Так было и в Китае. Некоторые китайские меры были основаны на частях человеческого тела – фаланга пальца (цунь [2]), кисть руки (чи [1]) и т.д. При измерении земли употреблялся бу [5] – «двойной шаг». Были меры растительного происхождения. Так, за один фэнь [1] принималась толщина просяного зернышка. В эпоху Чжоу меры длины варьировались и не всегда имели десятичные соотношения. Например, 1 чжан [4] (199,1 см) = 1 1/4 жэнь [6] = 2 мо [4] = 10 чи [1] = 100 цунь [2]. Когда Цинь Ши-хуан объединил империю (221 г. до н.э.), он выбрал число 6 как свою эмблему и основу стандартизации весов и мер. И хотя «двойной шаг» был установлен в 6 чи [1] (циньский чи [1] = 27,65 см), советники императора построили по десятичному принципу шкалу мер длин, находящихся ниже чи [1]. Таким образом получилось:

1 чи [1] = 10 цунь [2]
1 цунь [2] = 10 фэнь [1]
1 фэнь [1] = 10 ли [14]
1 ли [14] = 10 хао [1]
 
Еще имелся чжан [4] в 10 чи [1] и инь [11] в 10 чжан [4]. Эта система также находилась в обращении в течение всей эпохи Хань и с некоторыми модификациями была использована для построения систем мер длины в более поздние времена.
 
Из десятичной системы мер и весов естественным образом вытекал десятичный способ записи дробей. На ранних этапах развития традиционной математики китайцы не имели дело с отвлеченным числом, а решали практические задачи, в которых обсуждались длины, площади, объемы и веса. Поэтому десятичная запись была, по сути, записью в той или иной десятичной системе измерений. Дроби в такой десятичной записи историки китайской науки называют «метрологическими дробями».