Математика

 
По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек. Такие «палочные» цифры и схемы расчетов присутствуют, например, во многих математических трактатах XIII–XIV вв. Имеется предположение, что самой древней книгой с «палочными» цифрами является «У цао суань цзин» («Счетный канон пяти ведомств»), написанная в IV–V вв. н.э. Однако ни одно из ее изданий их не содержит. Все вычисления записываются в ней стандартным иероглифическим способом. Правда, издания данной книги осуществлялись с XI в., и редакторы могли исключить из нее «палочную нумерацию».
 
В «Цзю чжан суань шу» и других ханьских математических трактатах нет описания счетной доски и правил действий с числами с ее помощью, поскольку, вероятно, она была широко известна, а правила действий объяснялись устно. С другой стороны, в этих трактатах, несомненно, используются выражения, которые подразумевают использование счетных палочек.
 
При «палочном» счете цифры образуются как разные комбинации счетных палочек (рис. 2). Числа от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством палочек. Для обозначения чисел от 6 до 9 одна палочка размещается перпендикулярно остальным, которых будет от 1 до 4 соответственно. Число 10 обозначается одной палочкой, размещенной в соседней позиции перпендикулярно палочке, обозначающей единицу. Очевидно, что в эпоху Хань было окончательно установлено правило для обозначения цифр разных разрядов одинаковыми комбинациями палочек, расположенными в двух различных ракурсах. Один использовался для единиц, сотен, десятков тысяч, и т.д., а второй – для десятков, тысяч, сотен тысяч и т.д. В III–V вв. н.э. они были названы соответственно цифрами цзун [2] и хэн [1] (т.е. «продольными» и «поперечными»). В относящейся к этому времени книге «Сунь-цзы суань цзин» («Счетный канон Сунь-цзы») говорится: «В методах счета прежде всего следует знать позиции (вэй [6]). Единицы продольны, а десятки поперечны, сотни стоят, а тысячи лежат. Поэтому тысячи и десятки выглядят одинаково, также как десятки тысяч и сотни». Иероглиф вэй [6] в цитате из «Сунь-цзы суань цзин» относится к позициям палочек в столбцах на счетной доске, иными словами, к поместному значению. Другим термином был дэн [1] – «ранг».
 
По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом (рис. 3).
 

 
До появления нуля при написании цифр в «палочной» нумерации на его месте оставлялся пробел, как это делалось и на счетных досках. Все вычисления поэтому использовали только девять знаков. Десятичная позиционная система китайцев была в буквальном смысле «системой места». Например, в танских рукописях из пещерных храмов Дуньхуана один свиток содержит расширенные таблицы умножения (mn² и m²n², где комбинируются m и n, равные 1, 2, ... 9), в которых цифры выражаются в «палочной» манере и, например, число 405 (= 5 х 9 х 9) записывается так (рис. 4). 
 

Знак нуля. До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. Согласно распространенному мнению, он возник в Индии. Одно время полагали, что самое древнее сохранившееся упоминание о нем в математических текстах связано с рукописью, которую обнаружили в 1881 г. в деревне Бакшали (совр. Пешавар) и первоначально относили ко II в. н.э. Однако позже ее стали датировать IV, VII в. или даже IX–XII вв. Нуль в этой рукописи обозначался как точкой, так и кружком. Самое раннее индийское изображение нуля (точка) среди надписей на камнях обнаружено в Шапуре и датируется 672 г. Нуль мог возникнуть в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии. Первые надписи, содержащие нуль, появляются почти одновременно в Камбодже и на Суматре (683 г.) и на острове Банка рядом с Суматрой (686 г.) (в первых двух случаях символом нуля является точка, в третьем – кружок).
 
Впервые в Китае нуль в виде точки встречается в компендиуме «Кай-юань чжань цзин» («Астрологический канон [периода] Кай-юань»), который в 718–729 гг. написал индийский астроном Цюйтань Сида (Гаутама Сидхартха), работавший в Астрономическом бюро и представивший в 718 г. индийский календарь Наваграха (Цзючжи). Однако, видимо, этот прецедент не произвел на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется по крайней мере с эпохи Сражающихся царств. Первоначально он мог обозначаться на письме в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок. «Клеточное» обозначение нуля имеется в календарных разделах «Тан шу» («Книга о [династии] Тан») и «Сун шу» («Книга о [династии] Сун»), а в календаре Да-мин, разработанном Чжао Чжи-вэем в 1182 г., в местах пробелов уже помещен кружок.
 
Может быть, понятие «пустота» (кун [1], сюй) даосского или индийского мистицизма внесло свой вклад в изобретение символа для нуля. Не исключено, что форма знака нуля могла быть заимствована из китайских философских диаграмм XI–XII в., в которых кружок часто обозначал «беспредельное» (у цзи; см. Тай цзи), изначальный хаос (хунь дунь), сближающиеся с понятием «ничто».
 
В любом случае китайские математики XIII в. имели в своем распоряже-нии полностью развитое обозначение нуля, как в примере из изданной в 1247 г. работы Цинь Цзю-шао «Шу шу цзю чжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), где вычитание 1 470 000 – 64 464 = 1 405 536 записывается следующим образом (рис. 5).
 
Китайская письменная форма для нуля – иероглиф лин. Его первичное значение – «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя» – по ассоциации привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105. Однако, хотя был возможен переход к использованию лин для выражения нуля в этом числе, в таком значении иероглиф лин не использовался в математических текстах до эпохи Мин. С другой стороны, у сунских алгебраистов, которые использовали символ «0», легко найти примеры чисел с нулем, записанных так, что в них термин лин мог бы применяться. Можно предположить, что символ нуля был назван лин со времени его первого широкого использования в эпоху Сун. Не исключено, что такое использование старого знака возникло не только потому, что он долго означал «остаток», но и потому, что символ «0» по форме напоминает сферическую дождевую каплю.
 
Абак. Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера.
 
Китайский абак называется чжу суань пань, чжу суань (букв. «пластина с шариковыми счетами», «шариковые счеты») или так же, как и счетная доска, – суань пань («счетная пластина», «счетное блюдо»). Эти счеты историки называют «абаком», имея в виду некоторое сходство с европейским счетным устройством, возникшим в древней Греции и использовавшимся в Европе вплоть до XVIII в. В своем первоначальном виде европейский абак – это доска с ложбинами, в пределах которых можно передвигать счетные костяшки. Суань пань – счетное устройство, широко используемое в Китае с древних времен и до наших дней.
 
Китайский абак представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). Однако, в принципе, каждые колонки костяшек могут принимать любое значение по желанию вычислителя. С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних.
 
На основании того, что в китайской литературе не было найдено никакого полного описания абака в его современной форме до сочинения Чэн Да-вэя «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), опубликованного в 1593 г., многие историки науки полагали, что этот инструмент не был известен в Китае до конца XVI в.
 
Однако имеются и более ранние прямые или косвенные упоминания о нем. Так, о «доске с перемещающимися шарами», которой следует пользоваться по твердо установленным правилам, сказано в сочинении «Лу тан ши хуа» («Эссе из чертога в предгорье»), которое было издано в 1513 г. Самое раннее изображение этого инструмента было найдено в напечатанном в 1436 г. иллюстрированном детском учебнике «Синь бянь Дуй сян сы янь» («Новая исправленная Хрестоматия изображений четверок иероглифов»). Между 1078 и 1162 гг. было написано четыре книги, которые, судя по их названиям, имели дело с абаком, но ни одна из них не дошла до нас. Еще имеется доказательство из потерянной книги Се Ча-вэя об использовании абака в XI в.
 
Вероятно, самой древней работой, в которой говорится о счете с помощью абака, является трактат «Шу шу цзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Аритмологичческий мемуар», рус. пер.: С.В. Зинин, 1985), который приписан Сюй Юэ (ок. 160–227), жившему в конце Поздней Хань, и снабжен комментариями (частичн. рус. пер.: С.В. Зинин, 1986), написанными приблизительно в 570 г. Чжэнь Луанем, возможно, и являющимся истинным автором трактата. Эта книга в эпоху Сун вошла в «Суань цзин ши шу» и заметно отличается от остальных работ этого сборника, приближаясь по характеру к сочинениям по арифмологии (шу шу). Об абаке в комментариях к «Шу шу цзи и» говорится в связи с фразой «при счете шариками удерживаются лентами (дай [1]) четыре сезона и [связывается] вдоль и поперёк (цзин вэй) триада драгоценностей (сань цай – Небо, Земля, Человек)». Согласно комментарию Чжэнь Луаня, абак представляет собой доску с тремя, символизирующими указанную «триаду», горизонтальными перегородками – двумя боковыми и одной средней, образующими две секции, в которых по перпендикулярным к перегородкам направлениям могут перемещаться шарики, видимо, нанизанные на веревки – «ленты». В «нижней» секции размещаются символизирующие «четыре сезона» четыре шарика одного цвета, а в «верхней» – находится всего один шарик, имеющий отличный от них цвет. Каждый шарик из «нижней» секции соответствует единице, а «верхний» шарик – пяти единицам. Таким образом, их комбинации могут давать от 1 до 9 единиц выбранного разряда, а один «нижний» шарик из следующей позиции будет соответствовать единице более высокого разряда. В данных комментариях упоминаются еще три вычислительных устройства, в которых используются шарики. Все они строятся на системе координат с разным количеством делений по горизонтали, по которой проходят «пути» (дао), и по вертикали, на которой находятся «позиции» (вэй [6]). Расположение шарика на той или иной позиции определяет соответствующее число, выбранное для каждого устройства. Для вычисления по методу «великое единое» (тай и) используется один шарик, «двоица форм» – два (верхний – синий, а нижний – желтый), «триада» – три (верхний и нижний имеют те же цвета, а средний – белый). Для вычисления по первому методу используется устройство, разграфленное по принципу 9 х 9, по второму – 5 х 5, по третьему – 3 х 3. В комментариях Чжэнь Луаня имеются еще некоторые подробности о числовых, символических и конструктивных особенностях данных вычислительных устройств, однако принцип их работы остается не ясен.