Математика

 
В течение полутора веков от начала династии Мин в китайской математике не произошло ничего интересного, но после 1500 г. положение несколько изменилось. Тан Шунь-чжи (1507–1560), военный инженер и математик, отличился своей работой по измерению круга. Его современник Гу Ин-сян, губернатор Юйнани, систематизировал развитые ранее алгоритмы, предназначенные для расчета дуг и круговых сегментов. Но эти математики, однако, не были знатоками алгебры поздней Сун и Юань, которая полностью вышла из употребления. Даже Чэн Да-вэй (1533–1606), наиболее примечательный из математиков эпохи Мин, не использовал ее. Его труд «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета»), написанный в 1593 г., был прежде всего практическим трактатом, посвященным определению площадей специфической формы и смешиванию сплавов, а также содержал значительное число магических квадратов. В данной книге вперые приводится рисунок китайского абака с инструкциями по его применению.
 
С прибытием иезуитов в начале XVII в. в Пекин наступил конечный период традиционной математики Китая. Иезуиты быстро осознали, что проповедь религиозных идей успешнее в соединении с передачей достижений европейской науки. Началась эра переводов на китайский язык западных научных работ. Так, главой иезуитской миссии Маттео Риччи и принявшим христианство китайцем Сюй Гуан-ци (1562–1633) были переведены шесть первых книг «Элементов» Евклида, которые были изданы в 1607 г. под названием «Цзи хэ юань бэнь» («Элементы геометрии», букв. «Источник и корень [ответов на вопросы] “сколько” и “как”»). В этом же году они опубликовали сочинение по практической тригонометрии «Цэ лян фа и» («Принципы методов измерений и отмериваний»). В 1614 г. был издан трактат Маттео Риччи и Ли Чжи-цзао, посвященный изложению европейской арифметики и названный «Тун вэнь суань чжи» («Значение универсального исчисления», «Идеи универсального исчисления», «Унифицированный язык счета индексов»). Несколько позднее иезуиты представили китайцам европейскую алгебру. Изучение западных работ вызвало у китайских ученых взрыв энтузиазма и стимулировало их к восстановлению собственной математической традиции. После опубликования Мэй Гу-чэном (1681–1763) книги «Чи шуй и чжэнь» («Жемчуг, извлеченный из Красной Реки»), в которой показывались достижения китайской алгебры до XVII в., стали проводиться попытки синтезирования ее с западной математикой.
 
Система счисления и вычислительные устройства
 
Запись цифр. Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гада-тельных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки.
 
Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы (рис. 1). В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 (и [2] , эр [2], сань [2], сы [7], у [5], лю [1], ци [8], ба [2], цзю [1]). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10000 (ши [16], бай [1], цянь [2], вань [1]). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

 
Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами.
 
100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями цифры для единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.
 
Принцип записи цифр, при котором число, большее числа, являющегося основанием системы счисления, изображается при письме как сочетание значащей цифры и знака разряда, называется мультипликативным, а основанная на нем система – именованной позиционной. Она близка к истинной позиционной и может быть преобразована в нее путем введения нуля и исключения названия (знака) разрядов. В иньских и чжоуских цифрах принцип «именованности» применяется с некоторыми исключениями. После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной. В ней числа любого разряда, за исключением единичного, изображаются двумя иероглифами, первый из которых обозначает цифру, а второй – название разряда. Например, число 1234 записывается как и [2] цянь [2] эр [2] бай [1] сань [2] ши [1] сы [7], что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (ср. с рус. «одна тысяча двести тридцать четыре»).
 
Самое большое число, встречающееся в иньских надписях, – 30 000. В «Цзю чжан суань шу» самое большое число представлено в задаче № 24 раздела 4 – 1 644 866 437 500 (объем сферы в чи [1]). Иероглифами это число записывается следующим образом: 1 вань [1] 6 цянь [2] 4 бай [1] 4 ши [16] 8 и [2] 6 цянь [2] 6 бай [1] 4 ши [16] 3 вань [1] 7 цянь [2] 5 бай [1]. Такая запись показывает, что в эпоху Хань китайцы имели систему счисления, в которой разряды объединяются в классы по четыре, а не по три, как в европейской нумерации. Подобное членение характерно для традиционной китайской нумерации. Класс в ней состоит из единиц (и [2]), десятков (ши [16]), сотен (бай [1]) и тысяч (цянь [2]). Классы могут называться по названию входящих в них единиц. Единицы второго класса – это вани [1] (10⁴), а третьего – и [23] (10⁸). Единицы третьего класса в примере из «Цзю чжан суань шу» не названы, поскольку, вероятно, в нем применяется система, в которой после разряда и [2] называются единицы разрядов, идущих через шаг 10⁸, и следующим будут называться единицы разряда 10¹⁶ – чжао. Каноновед Кун Ин-да (574–648) называл эту систему «большим счетом» (да шу), в отличие от «малого» (сяо шу), шаг в котором постоянен и равен 10⁴. По «малому счету» иероглиф чжао должен означать единицы разряда 10¹². В таком значении он впервые встречается в «Цзо чжуани» («Предание Цзо»/«Комментарий [г-на] Цзо [к летописи “Вёсны и осени”]») и «Ли цзи» («Записки о благопристойности/ритуале»). В Китае были и другие системы наименования единиц разрядов. Так, в трактате Сунь-цзы [2] помимо «большого счета», доходящего до разряда 10⁸⁰, указан еще счет, в котором называются вань [1] (10⁴), и [23] (10⁸) и каждый следующий разряд (чжао, цзин [11], гай, цзы [7], жан, гоу [4], цзянь [17], чжэн [1]) вплоть до разряда цзай (10¹⁷).
 
Счетные палочки. Есть основания полагать, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек (чоу [3], чоу цэ, чоу суань и проч.). Сам иероглиф суань 算 – «вычисление» – восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек. Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств (Чжань-го) числа прямо записаны в «палочной» нумерации. Ханьские математические тексты содержат математические выражения, подразумевающие использование счетных палочек.
 
В «Цзо чжуани» имеется пассаж, датируемый 542 г. до н.э., который, если исключить возможность последующей правки, может служить подтвер-ждением того, что «палочная» нумерация существовала в середине эпохи Чжоу. Во всяком случае, он демонстрирует понимание позиционного значения цифр, поскольку в нем число 2666 записывается словосочетанием «двойка и три шестерки» (речь шла о возрасте некоего престарелого человека, выраженном в декадах и равном приблизительно 73 годам).
 
Наиболее известный древний текст, в котором упоминаются счетные палочки, – это «Дао дэ цзин» («Канон дао и дэ»). В его 27 чжане [1] имеется фраза: «Умеющий считать не использует счетных палочек (чоу цэ)». С начала эпохи Хань упоминания о палочках стали достаточно частыми. Например, В «Ши цзи» («Исторические записки», цз. 8) Сыма Цянь описал беседу, произошедшую в 202 г. до н.э. между первым ханьским императором Гао-цзу и министром Ван Лином, в которой император говорит, что один из его талантов – «планирование военных действий со счетными палочками в палатке штаба». В «Хань шу» («Книга о [династии] Хань») Бань Гу  сообщил, что счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину 14 см. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке.
 
При археологических раскопках, проводившихся в 1971 г. в уезде Цянь-ян (пров. Шэньси), было найдено три десятка счетных палочек, датируемых годами правления ханьского императора Сюань-ди (73–49 гг. до н.э.). Их размеры совпадают с описанием из «Хань шу», но сделаны они не из бамбука, а из кости. Палочки в связке, раскопанной в 1975 г. в уезде Цзянлин (пров. Хубэй) и датируемой годами правления императора Вэнь-ди [1] (179–157 гг. до н.э.), сделаны из бамбука, но являются более длинными, чем палочки из Цяньяна.
 
Имеются сведения, что в сокровищнице императора Ань-ди (прав. от 397 до 418 г.) из династии Цзинь хранились счетные палочки одного из министров Цинь Ши-хуана, Чжао То, который впоследствии управлял Югом как независимый князь. Эти палочки имели длину около 30 см, и некоторые из них были сделаны из кости, а другие – из рога, имея, соответственно, белый и черный цвета.
 
Помимо бамбука, рога и кости палочки в эпоху Хань и позже изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Танские администраторы и инженеры имели обыкновение носить у пояса мешочек со счетными палочками. Шэнь Ко (1031–1095), описывая одного из своих современников, астронома Вэй Поу, говорил, что «он мог передвигать счетные палочки настолько быстро, что казалось, что они летали, и глаз не мог поспеть за их движениями до тех пор, пока не был готов результат». Это описание позволяет представить скорость, с которой мог совершаться профессиональный счет. После эпохи Мин о счетных палочках стало меньше сообщений, поскольку они были вытеснены абаком.
 
Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на специальной счетной доске суань пань, на которой каким-либо образом обозначена клеточная структура. Лю Хуй в комментариях к задаче № 18 из «Цзю чжан суань шу» указывает, что для оперирования счетными палочками можно использовать разграфленный кусок ткани.
 
«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Кроме того, посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления. «Палочный» счет оставил свой след в китайской письменности, выражающийся в том, что большинство терминов для вычисления имеет в качестве корневого элемента (ключа) иероглиф «бамбук» и существует много выражений типа «подвинуть палочки» (туй суань), «взять палочки» (чи чоу) и т.д., которые применяются при том или ином вычислении.
 
Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.