Математика

 
Наиболее крупный ученый XI в. – это Шэнь Ко (1031–1095). Его кисти принадлежит изданный в 1086 г. труд «Мэнси би тань» («Записки из Мэнси»), который посвящен не только математике, а почти всем наукам того времени. В математической части этого труда уделено внимание многим областям алгебры и геометрии. Служебная необходимость решать проблемы геодезии привела Шэнь Ко к геометрии. В частности, он занимался нахождением длины дуги по предложенному им самим методу, который послужил основанием сферической тригонометрии, развитой затем Го Шоу-цзином (1231–1316). В «Мэнси би тань» Шэнь Ко рассмотрел также приемы накопления «очень маленьких вещей», под которыми, видимо, имел в виду нечто подобное предложенному в 1635 г. Бонавентурой Кавальери суммированию бесконечного числа неделимых или бесконечно малых.
 
Самые большие открытия традиционной китайской математики были сделаны в эпоху Южной Сун, главным образом, в XIII в. В этот период работали такие известные китайские ученые, как чиновники Цинь Цзю-шао (1202–1261) и Ян Хуй (ок. 1238–1298), странствующий учитель Чжу Ши-цзе (ок. 1260–1320) и отшельник Ли Е (1192–1279). Два первых из них проживали на юге страны, а два последних – на севере. Вероятно, они не только не были связанны между собой личными связями, но и не знали ничего друг о друге. Ими были исследованы методы решений систем уравнений высших степеней, приемы построения прогрессий, магических квадратов, треугольника Паскаля и др. После этого в Китае не было написано ни одной важной работы по традиционной математике.
 
Имеется различие в социальном статусе между математиками эпох Тан и Сун. В Тан они были высокопоставленными чиновниками, как, например, Ли Чунь-фэн, а в Сун – мелкими служащими, выходцами из народа или, как, например, Чжу Ши-цзе, странствующими учителями. Поэтому не удивительно, что внимание сунцев было в большей степени направлено на практические проблемы народного быта и производства. Однако, несмотря на практический уклон, в их сочинениях были введены некоторые новые математические представления.
 
Например, в трактате «Шу шу цзю чжан» («Трактат о вычислениях в девяти разделах»), написанном Цинь Цзю-шао в 1247 г. и посвященном в основном финансовым делам, расчетам конструкций дамб, распределения воды для ирригации, вычислениям площадей и объемов, проблемам определения из отдаленного пункта диаметра и окружности городской стены и проч., есть задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным, для которых дается общее правило решения. Именно здесь известное ицзинистское выражение тянь юань (букв. «небесная изначальность», «небесный элемент») стало впервые использоваться в качестве обозначения остатков (равных 1 в первой из задач), которые помещались в левом столбце таблицы юань шу («изначальные числа») и ставились в соответствие модулям, находящимся в правом столбце. Кроме того, Цинь Цзю-шао использовал в своем сочинении символ нуля и, как и все алгебраисты Сун и Юань после него, записывал уравнения со свободным членом так, чтобы последний был всегда отрицательным, что, по сути, было эквивалентно появившемуся в Европе только в начале XVII в. правилу приравнивания уравнения нулю.
 
Книга Ли Е «Цэ юань хай цзин» («Морское зеркало измерений круга»), написанная в 1248 г., посвящена, главным образом, решениям уравнений, касающихся кругов, вписанных в треугольники. В ней Ли Е использовал полностью алгебраические методы, также как и в другой своей книге, «И гу янь дуань» («Новые шаги в вычислении»), которая была написана в 1259 г. В обоих произведениях Ли Е использовал термин тянь юань для обозначения неизвестного в уравнениях высших степеней.
 
Ян Хуй стоит немного в стороне от Ли Е, как и от остальных ученых данной группы, занимаясь рядами, арифметическими прогрессиями и «правилом смесей», которое применялось при решении задач на смешивание тех или иных субстанций (напр. зерна) различного качества или неодинаковой ценности. Ему принадлежат две книги – «Сян цзе Цзю чжан суань фа цзуань лэй» («Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах” с их переклассификацией») (более короткое название – «Сян цзе Цзю чжан суань фа» – «Подробный анализ методов счета в “Девяти разделах”»), и «Сюй гу чжай ци суань фа» («Преемственное древности раскрытие редких методов счета»), написанные соответственно в 1261 и 1275 г. Ян Хуй был большим знатоком десятичных дробей и использовал для них метрологические обозначения в отрыве от их реальных значений, что можно считать эквивалентным использованию десятичной запятой. Ян Хуй высказывал неудовлетворенность эмпирическими методами, на которых была основана геодезия. Он критиковал математиков, которые «изменяют названия своих методов от задачи к задаче», но поскольку при этом они не дают никакого определенного объяснения, нет возможности говорить об их теоретическом основании. Этот подход близок к современному. Ян Хуй дал доказательство, касающееся параллелограммов, которое подобно доказательству Евклида. Если бы такие доказательства повторялись, то китайские ученые могли бы развить собственную дедуктивную геометрию. Ясно, что уже в XIII в. некоторые из них, подобно Ян Хую, были подготовлены, чтобы оценить систему Евклида. Возможно, в это время уже имелся перевод на китайский язык «Элементов» Евклида, которые могли попасть в Китай от арабов.
 
Работы Чжу Ши-цзе стали апогеем развития китайской алгебры. Первая из его книг, «Суань сюэ ци мэн» («Введение в учение о счете»/«Разъяснение темных мест в математике», рус. пер. фрагментов: В.К. Жаров, 2000, 2002), изданная в 1299 г., представляет собой, по сути, введение в алгебру. В ней даются правила использования символов при алгебраическом сложении и умножении. Однако главные открытия Чжу Ши-цзе сделал в другой своей книге, «Сы юань юй цзянь» («Драгоценное зеркало четырех элементов»), написанной в 1303 г. Данная работа открывается диаграммой, которая позже стала известной на Западе как «треугольник Паскаля». Чжу Шицзе называет ее «диаграммой старого метода обнаружения восьмых и более низких степеней», из чего следует, что до него некоторое время она уже была в ходу. Он также описывает процедуру решения систем уравнений с «четырьмя элементами» (сы юань), предполагающую введение добавочных неизвестных и последующее их исключение в процессе решения уравнений. Эта процедура является, по сути, идентичной методу английского математика Джеймса Сильвестра (1814–1897), за исключением того, что Чжу Ши-цзе не использовал технику определителей.
 
Если в эпоху Тан астроном и математик И-син (683–727), рассчитывая новый календарь Да-янь (введен в 728 г.), был вынужден применять более развитые математические методы, чем его предшественники, то при династии Юань такая же потребность привела известного математика и астронома Го Шоу-цзина (1231–1316) к новым математическим разработкам, о которых, поскольку ни одно из его собственных сочинений не сохранилось, можно судить только по другим источникам. Работая над улучшением календаря, Го Шоу-цзин должен был рассматривать располагающиеся на «небесной сфере» пересечения небесного экватора и видимых траекторий Луны и Солнца. Это привело его к изучению геометрических фигур на сферической поверхности. В результате Го Шоу-цзин заложил, можно сказать, основы сферической тригонометрии в Китае, хотя при подобном высказывании следует учитывать, что он, вероятно, не знал основных тригонометрических функций типа синуса, косинуса и проч. Таким образом, его сферическая тригонометрия существенно отличалась от той, что известна в настоящее время.
 
Го Шоу-цзин также применял уравнения четвертой степени и метод, изобретенный первоначально Ли Чунь-фэном в эпоху Тан и эквивалентный западному «методу конечных разностей». Этот метод позволял вполне удовлетворительно вычислять скорость видимого движения Солнца. В эпоху Юань мусульмане (прежде всего, персы и народы Средней Азии) внесли определенную лепту в китайскую науку и технику, также как в эпоху Тан – индийцы. Нельзя исключать в истории китайской математики возможность арабских и персидских влияний, шедших от обсерваторий в Мараге и Самарканде. Однако неизвестно, была ли эта возможность реализована сколько-нибудь значимым образом. В частности, неясно, был ли и до какой степени Го Шоу-цзин под влиянием персидских астрономов, которые уже имели полностью развитую тригонометрию на плоскости и с которыми он, вероятно, встречался при императорском дворе. Возможно, работа Шэнь Ко (XI в.) о дугах и хордах дала ему все, в чем он нуждался.