Математика

 
Особенности и мировое значение
 
Анализ традиционной китайской математики показывает, что она вполне сопоставима по достижениям с математикой других древних и средневековых восточных народов. Есть также некоторая аналогия между ней и математикой средневековой Европы. При этом китайская математика существенным образом отличается от древнегреческой математики и от того теоретического направления, которое последняя задала в арабо-мусульманской и европейской математике. Греческая математика, как демонстрируют «Начала» Евклида, была на более высоком уровне абстрактности и систематичности, чем китайская. Но главной отличительной чертой греческой математики, ее сильной стороной, было наличие идеи строгого доказательства. С другой стороны, греческая математика была слаба там, где математика Китая была сильна, а именно, в алгебре.
 
Теоретическая математика зародилась в VI в. до н.э. у пифагорейцев, которые первоначально рассматривали ее как религиозное средство самосовершенствования. С этимологической точки зрения выражение «теоретическая математика» является тавтологией, поскольку греки называли математикой (mathematike) науку о числах и геометрических фигурах, в которой есть доказательства, т.е. теоретическую науку (mathema). В результате ее формирования у греков появились разработки в обрасти теории чисел и произошло отделение математики от логистики (logistika – счетное искусство, техника счисления) – системы вычислительный приемов, применяемых для практических нужд.
 
У китайцев никогда не было собственной теоретической математики. Их традиционная математика занималась разработкой правил в виде алгоритмов, позволяющих автоматически получать решение за счет нескольких процедур, которые совершались с помощью счетной доски. Наиболее значимыми из таких алгоритмов были кай фан, фан чэн и тянь юань. Корректность сообщае-мых правил при их формулировке не доказывалась, а сами они формулировались для частных случаев. Однако частные случаи, рассматриваемые в правилах, являлись общими в том смысле, что ими задавались общие схемы рассуждений. По сути дела, китайцы развивали не аксиоматическую, а конструктивную математику, в которой единообразный алгоритм заменяет аксиому. Было бы методологической ошибкой принимать за абсолютный эталон дедуктивное доказательство по типу греческого. Однако исторически оно сыграло важную роль в развитии математики. С другой стороны, вычислительно-алгоритмическое направление развития математики в Китае также имело большое значение для прогресса математики. Несмотря на «изоляию» Китая и различные социальные факторы, которые затрудняли передачу знаний, за период между III в. до н.э. и XIII в. н.э. из Китая были транслированы вовне многочисленные математические идеи. Долгое время влияние на китайскую математику извне было почти незаметным. Только начиная с XVII в. влияние Запада на Китай становится значимым.
 
Отсутствие теоретичности в традиционной китайской математике имело несколько причин. Среди них можно назвать социальные факторы, отсутствие формальной логики, преобладание ассоциативного (коррелятивного) мышления, особое понимание числа и проч.
 
Социальный статус математики в Китае был тесно связан с бюрократической правительственной системой. Она была посвящена задачам, которые должны были решать чиновники. Математика ради математики не имела права на существование. Возможно, необходимость решать прикладные задачи привязала китайских математиков к конкретному числу и мешала появлению абстрактных идей. Одно из главных применений в Китае математика находила при разработке календаря (ли [5]). По причинам, связанным с древними представлениями о космосе, учреждение календаря было ревниво охраняемой прерогативой императора. Когда в стране происходили восстания или свирепствовал голод, часто делался вывод, что причиной является несовершенство календаря. Поэтому придворным математикам поручалось исправить его.
 
То, что древнекитайские сочинения по математике, за некоторым исключением, не содержат теоретических разработок, было обусловлено и тем, что они задумывались как учебники, предназначенные для обучения чиновников, которым надо было решать практические задачи. Естественно, что таким читателям не было интересно изучать абстрактные теории. Однако, возможно, что среди математиков подобные теории обсуждались. Ведь правила, излагающиеся догматически в китайских математических трактатах, являются уже окончательным результатом изысканий, в ходе которых математики должны были прибегать к некоторым теоретическим соображениям.
 
Конечно, китайские математики не ограничивались только практическими задачами, а занимались и отвлеченными проблемами. Хотя их наука не ставила во главу угла дедуктивный метод, в ней имелись доказательства некоторых теорем. В китайской математике начиная с III в., со времени Лю Хуя и Чжао Цзюнь-цина, стала развиваться практика комментирования, в ходе которой были обоснованы правила решения некоторых задач. Эти обоснования были далеки от идеалов математической строгости, присущих древним грекам, и их нельзя назвать доказательствами в том смысле, как понималось доказательство в «Началах» Евклида. В них полностью отсутствует система аксиом, причем, задача ее разработки никогда и не ставилась. Однако, хотя аксиомы не формулировались, они, по сути, подразумевались в нестрогом виде. При этом ставилась цель не свести доказываемое утверждение к доказанным ранее, а привести его к некоему элементарному утверждению, которое могло быть признанным истинным. Решения геометрических задач часто объяснялись при помощи чертежей, проводимые в обоснованиях рассуждения иллюстрировались упрощенными примерами, не содержали доказательств промежуточных предложений и рассмотрения всех возможных случаев. Но, формулируясь для частных случаев, обоснования, как правило, бы-ли корректны и в общем случае. По сути дела, эти обоснования представляют собой обобщенные дедуктивные процедуры, но оформленные на частных примерах.
 
Особенности китайской математики во многом обусловлены представлениями о числе, возникшими в доциньское время и в той или иной степени поддерживавшимиеся там на всех этапах развития традиционной культуры. Эти представления, в свою очередь, определялись характером и условиями своего формирования. Искусство счета в древней Греции развилось не автохтонно, а было заимствовано у финикийцев вместе с письменностью. Эта инородность знаний о числе привела, вероятно, к пониманию его греками как чего-то выходящего за пределы обыденного и стоящего над чувственной реальностью. Философией числа в древней Греции первыми стали заниматься пифагорейцы. Пифагор проповедовал учение, усвоенное им, по всей видимости, где-то вне Греции. Ореол таинственности и мистицизма, который стал окружать это учение, еще больше приподнял число над миром, воспринимаемым чувствами, придав пониманию числа специфическую абстрагированность от вещей. Китайцы развили философию числа автохтонно, и у них не было никаких причин для удвоения мира. Числа в китайском мировоззрении предстают как некая творческая сила, приводящая к расчленению всякой непрерывности. Они являются одной из важнейших характеристик бытия, элементами космического кода, с помощью которого оформляются и организуются все мировые реалии. При этом числа не отделяются от вещей. С натуралистических позиций, на которых выстраивалась древнекитайская наука, существующего вне вещей (и процессов) числа нет. Таким образом, если у китайцев числа – всего лишь атрибуты вещей, выражение одной из их характеристик, то у греков числа – это не атрибуты вещей и не сами вещи, а основа вещей, их субстанция, понимаемая как нечто образцовое и неизменное.
 
Образцовой и неизменной субстанции китайцы не знали. В их картине мира на всех уровнях бытия доминировала изменчивость. Поэтому и числа – изменчивы. Можно предположить, что именно отсюда происходит отсутствие в китайской математике аксиоматики, на место которой встал алгоритмический подход. Поскольку алгоритм является, по сути, предписанием работы некой условной или реальной вычислительной машины, машины по преобразованию подаваемых на вход данных в получаемый на выходе результат (в Китае материальным выражением такого устройства была счетная доска), то можно полагать, что в алгоритмической процедуре совершается превращение чисел. Использование китайцами алгоритмических процедур моделировало превращения вещей, понимаемых как доли единого космоса, характеризуемых числами и находящихся в тех или иных структурно-динамических отношениях. Так как числа китайцами не мыслились, как у греков, в качестве субстанции, то у них не было никаких предубеждений в принятии отрицательных чисел. Для китайцев последние – это всего лишь «долг». Если же считать числа субстанцией, то их отрицательность просто невозможна. В китайских космологических моделях космос рассматривался как некая единичность, которая подразделяется на множество частей. Как и китайцы, греки соотносили единицу с целостным космосом. Поэтому они также могли мыслить числа в качестве результата деления первичной единицы. Но более значимым для них было понимание единицы как элемента, из которого числа складываются. В таком случае, единица – не число, а некий математический атом. Космос и числовой мир греков – дискретны.
 
Так как числа у китайцев не являлись агрегатами монад, то у них не возникло проблемы иррациональных чисел, подобной той, что вызвала кризис в ранней греческой математике. Китайцы, похоже, просто не замечали иррациональности. Поскольку числа у греков состоят из элементов-единиц, они имеют структуру, которая в пространственном отношении выражается как форма. Более того, первоначально греки мыслили числа не просто имеющими форму, а телесными, и только у Платона они стали пониматься как чистые формы. Связанность числа и формы у греков привела к тому, что среди математических дисциплин они развивали в большей степени геометрию. Китайцы никогда не мыслили число в категории формы. В пространственно-временном континууме они делали акцент на времени, а поэтому их интересовали больше не формы, а процессы изменений, что выразилось в преобладании в традиционной китайской математике алгебраических и, как уже говорилось, алгоритмических методов. Благодаря этим и другим своим особенностям, традиционная китайская математика занимает достойное и значимое место в истории мировой математики, дополняя и обогащая ее своим уни-кальным и оригинальным опытом.
 
Источники:
Суань цзин ши шу (Десять книг счетного канона) / Под ред. Цянь Бао-цуна. Пекин, 1963; Математика в девяти книгах / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. 10. С. 427–584; Сунь-цзы. Математический трактат Сунь-цзы / Пер. и коммент. Э.И. Бе-резкиной // Из истории науки и техники в странах Востока: Сборник статей. М., 1963. Вып. 3. С. 22–70; Чжан Цюцзянь. Математический трактат Чжан Цюцзяня / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Физико-математические науки в странах Востока: Сборник статей и публикаций. М., 1969. Вып. 2 (5). С. 18–81; Математический трактат пяти ведомств / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Физико-математические науки в странах Востока: Сборник статей и публикаций. М., 1969. Вып. 2 (5). С. 82–97; Лю Хуй. Две задачи из «Математики в девяти книгах» и комментарий к ним с вычислением числа «пи» / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. 19. С. 253–273; он же. Математический трактат о морском остро-ве / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. 19. С. 231–252; Ван Сяотун. Математический трактат о продолжении древних [методов] / Пер. и коммент. Э.И. Березкиной // Историко-математические исследования. М., 1975. Вып. 20. С. 329–371.
 
Литература:
Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М., 1980; Волков А.К. Трактовка китайской математики Дж. Нидэмом и его критиками (обзор) // Современные историко-научные исследования: Наука в традиционном Китае. М., 1987. С. 106–127; Гуань Чжаочжи. О математике в древнем Китае // «Народный Китай». 1956. № 15. С. 29–31; Еремеев В.Е. Традиционная китайская математика: Краткая история и основные идеи // «История науки и техники». 2005. № 9. С. 28–38; он же. Число в древнекитайской космологии // XII Всероссийская научная конференция “Философии восточно-азиатского региона (Китай, Япония, Корея) и современная цивилизация”. М., 2007. С. 109–114; Жаров В.К. Об истории операции полагания (присваивания) в древней и средневековой китайской математике // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических сис-тем. М., 2000. Вып. 3. С. 248–255; он же. О «Введении» к трактату Чжу Шицзе «Суань сюе ци мэн» // Историко-математические исследования. М., 2001. Вторая серия, вып. 6 (41). С. 347–353; он же. О двух задачах трактата «Девять книг по математике» Цинь Цзю-шао // Историко-математические исследования. М., 1986. Вып. XXX. С. 338–343; Юшкевич А.П. Исследования по истории математики в древнем Китае // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1982. № 3. С. 125–136; Юшкевич А.П. О достижениях китайских ученых в области математики // Из истории науки и техники Китая. М., 1955, с. 130–159; Ли Янь. Чжунго гудай шусюэ цзяньши (Краткая история древнекитайской математики). Т. 1–2. Пекин, 1963–1964.; Ли Янь. Чжунго гудай шусюэ шиляо (Материалы по истории древнекитайской математики). Шанхай, 1954; Ли Янь. Чжунго суаньсюэ ши (История китайской математики). Шанхай, 1955; Цянь Бао-цун. Чжунго шусюэ ши (История китайской математики). Пекин, 1964; Чжунго шусюэ ши (История китайской математики). Пекин, 1964; Li Yan, Du Shiran. Chinese Mathematics: A Concise History / Tr. by J. N. Crossley and A. W. C. Lun. Oxford, 1987; Martzloff J.-C. A History of Chinese Mathematics. Berlin-Heidelberg, 1997; Mikami Y. The Development of Mathematics in China and Japan. N. Y., 1974; Needham J. Mathematics and Science in China and the West. Science and society. N. Y., 1956; Needham J. Science and Civilisation in China. Cambridge. Vol. 3. 1959; Needham J. The Social Posi-tion of Scientific Men and Physicians in Medieval China // XIVth International Congress of the History of Science. Proc. № 4, Tokyo; Kyoto. 1974. Tokyo, 1975, p. 19–34; Reiffler E. The Philological and Mathematical Problems of the Wang Mang's Standard Grain Measures. 1965; Wang Ling, Needham J. Horner's Method in Chinese Mathematics; Its Origins in the Root-Extraction Procedures of the Han Dynasty // T’oung Pao, 1955, № 43, p. 345–401; Wang Ling. The Decimal Place-Value System in the Notation of Numbers in China // Com¬munication to the XXIIIrd International Congress of Orientalists. Cambridge, 1954.
 
Автор: В.Е. Еремеев
 
Источники:
Зинин С.В. Некоторые проблемы китайской аритмологии // XVI НКОГК. М., 1985. Ч. 1, с. 151–155; он же. Позднеханьская космологическая схематика // История и культура Восточной и Юго-Востояной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 84–93; Сыма Цянь. Исторические записки (Ши цзи) / Пер. Р.В. Вяткина. Т. IV. М., 1986; Древнекитайская философия. Эпоха Хань. М., 1990; Чжу Шицзе. «Разъяснение темных мест в математике» / Пер. и коммент. В.К. Жарова // Математика и практика; Математика и культура. М., 2000, с. 193–196; «Трактат о гномоне» / Пер. фрагментов Яо Фана // Математика и практика; Математика и культура. М., 2003. № 3, с. 72–75; Философы из Хуайнани (Хуайнаньцзы) / Пер. Л.Е. Померанцевой. М., 2004; Gillon B.S. Introduction, Translation and Discussion of Chao Chün-ch`ing`s «Notes to the Diagrams of Short Legs and Long Legs and of Squares and Circles» // Historia Mathematica. Toronto, N.Y., 1977. Vol. 4, № 3, p. 253–293; Hée L. van. The Arithmetic Classic of Hsia-Hou Yang // Amer. Math. Mon. 1924, 31, p. 235–237; Id. Le Classique de l`île maritime, ouvrage chinois du III siecle // Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. 1933, Abt. B, Bd 2, S. 255–280; Chiu Chang Suan Shu. Neun Bücher Arithmeticher Technik / Üb. und erläutert von K.Vogel. Braunschweig, 1968; Libbrecht U. Chinese Mathematics in the Thirteenth Century. The Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao. Cambridge, 1973; Lam Lay Yong. A Critical Study of the Yang Hui Suan Fa, 13th Century Chinese Mathematical Treatise. Singapore, 1977; Cullen C. Astronomy and Mathematics in Ancient China: The “Zhou Bi Suan Jing”, Cambridge, 2007.
 
Литература:
Волков А.К. Доказательство в древнекитайской математике // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985, с. 200–206; он же. Вычисления площадей в древнем Китае // Историко-математические исследования. М., 1985. Вып. 29, с. 28–43; он же. Предварительные результаты количественного анализа древнекитайских эталонных сосудов // XVI НКОГК. М., 1985. Ч. 1, с. 145–150; он же. О геометрическом происхождении древнекитайского метода извлечения квадратных и кубических корней // История и культура восточной и Юго-Восточной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 172–192; он же. О названии одного древнекитайского математического трактата // История и культура Восточной и Юго-Восточной Азии. М., 1986. Ч. 1, с. 193–199; он же. О структуре математического трактата «Хай дао суань цзин» // XVII НКОГК. М., 1986. Ч. 1, с. 82–85; он же. Трактовка китайской математики Дж. Нидэмом и его критиками // Современные историко-научные исследования: наука в традиционном Китае / Сост. А.И. Кобзев. М., 1986, с. 106–127; он же. О методе аналогии в древнекитайской математике // XVIII НКОГК. М., 1987. Ч. 1, с. 113–117; он же. Об инфинитезимальном методе вычисления объема пирамиды в древнем Китае // XIX НКОГК. М., 1988. Ч. 1, с. 143–146; Жаров В.К. Развитие методов преподавания традиционной китайской математики. М., 2002; Зинин С.В. Космос и человек в китайской культуре: звезда «Тай и» и восемь ветров «ба фэн» // ХХIV НКОГК. М., 1993. Ч. 1, с. 117–121; Карапетьянц А.М. Древнекитайская системология и математика // XII НКОГК. М., 1981. Ч. 1, с. 58–72; он же. Понятийный аппарат доханьской геометрии и математики // XVIII НКОГК. М., 1987. Ч. 1, с. 106–113; Кобзев А.И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М., 1994; Маракуев А.В. История развития математики в Китае, а также в Японии // Отчет о деятельности математической конференции за январь – декабрь. [Владивосток], 1930, с. 47–60; Симаков М.Ю. Пифагорейская математика и древнекитайская философия // ХХIV НКОГК. М., 1993. Ч. 1, с. 109–112; он же. Восточная философия и современная наука. М., 2004, с. 33–56; Спирин В.С. Примеры сравнительно простого значения «дао» // IX НКОГК. М., 1978. Ч. 1, с. 85–91; он же. Геометрический образ «правильного поведения» (ли) в «Сюнь-цзы» // ППиПИКНВ. XIV. М., 1979. Ч. 1, с. 150–157; он же. Геометрические образы в древнекитайской философии // Актуальные проблемы философской общественной мысли зарубежного Востока. Душанбе, 1983, с. 189–197; Слово «хоу» (толщина) в идеологии древнего Китая; «Любовь» и математика в «Мо-цзы» // Письменные памятники и проблемы истории культуры народов Востока. X. М., 1974, с. 36–44; Го Цзинь-бинь, Кун Го-пин. Чжунго чуаньтун шусюэ сысян ши (История китайской традиционной математической мысли). Пекин, 2005; Дун Гуан-би. И ту ды шусюэ цзегоу (Математические структуры схем «[Канона] перемен»). Шанхай, 1987; Цянь Бао-цун кэсюэ ши луньвэнь сюаньцзи (Избранные статьи по истории науки Цянь Бао-цуна). Пекин, 1983; Чжунго да байкэ цюань-шу. Шусюэ (Большая китайская энциклопедия. Математика) / Гл. ред. Хуа Ло-гэн, Су Бу-цин. Пекин, 1988; Chemla K. Algebraic Equations East and West until the Middle Ages // EAS. Osaka, 1995, p. 83–89; Hée L. van. Le zéro en China // T`oung Pao, 1914, 15, p. 181–192; Ho Peng-Yoke. The Lost Problems of the Chang Ch`iu-chien Soan Ching, a Fifth-Century Chinese Mathematical Manuel // Oriens Extremus, 1965, 2, p. 37–53; Hoe J. Les systèmes d`equations polinômes dans le “Si Yuan Yu Jing” (1303). P., 1977; Kong Guoping. Ceyan Haijing: A Constructive System of Mathemetics // EAS, p. 461–468; Lin Dun. The Triumph of Utilitarian Mathematics // EAS, p. 457–460; Lam Lay Yong, Ang Tian Se. Fleeting Footsteps. Tracing the Concept of Mathematics and Algebra in Ancient China. Singapore, 1992; Sivin N. Cosmos and Computation in Early Chinese Mathematical Astronomy. Leiden, 1969; Struik D.J. On Ancient Chinese Mathematics // Euklides, 1965/65, 40, p. 65–79; Swetz F.J., Kao T.I. Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Anciemt China. Univ. Park, L., 1977; Wagner D.B. An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid: Liu Hui, Third Century A.D. // Historia Mathematica. Toronto, N.Y., 1979, Vol. 6, № 2, p. 164–188; Id. Liu Hui and Tsu Keng-chih on the Volume of a Sphere // Chin. Science. Philadelphia, 1978, Vol. 3, p. 59–79.
 
Сост. библ.: Кобзев А.И.
 
Ст. опубл.: Духовная культура Китая : энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. М.Л. Титаренко; Ин-т Дальнего Востока. — М. : Вост. лит., 2006–. Т. 5. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование / ред. М.Л. Титаренко и др. — 2009. — 1055 с. С. 52-95.